Intitulé

Considérons un neutron d'énergie E qui diffuse sur un noyau de masse A. En mécanique quantique, on peut montrer que la section efficace différentielle de la diffusion au centre de masse est isotrope si et seulement si le nombre quantique l associé est nul. Montre que en associant la définition classique et quantique du moment orbital que cette condition n'est remplie que si l'énergie du neutron est assez faible et/ou la taille du noyau est assez faible. Exemple avec A=1, A=12, A=238

Compréhension de l'intitulé

La condition pour que la diffusion soit isotrope (indépendante de la direction) est que l'amplitude de diffusion \( f(\theta) \) ne dépende pas de \( \theta \). Cette condition s'exprime en termes de la section efficace différentielle \( d \sigma \over d\Omega \) qui est la probabilité de diffusion par unité d'angle solide. Par définition, \( d \sigma \over d\Omega \) \(= |{f(\theta)}|^2 \).
Donc, la condition pour une diffusion isotrope est que \( |{f(\theta)}|^2 \) ne dépende pas de l'angle \( \theta \), ie \( f(\theta) \) que doit être une constante, indépendante de la direction de diffusion.
En allant un peu plus loin, cette amplitude de diffusion est exprimée en termes des fonctions d'onde sphériques harmoniques \( Y_lm(\theta,\phi) \) où l est le nombre quantique azimutal associé au moment orbital. La relation entre l'amplitude de diffusion et le nombre quantique l est la suivante : \[ f(\theta) = \sum_0^\infty (2l+1) e^{i\delta_l} \sin({\delta_l}) P_l \cos({\theta}) \] où \( \delta_l \) est la phase de diffusion associée à \( l \), \( P_lcos(\theta) \) sont les polynômes de Legendre, et \( \theta \) est l'angle de diffusion. La phase de diffusion est liée à la probabilité de diffusion d'une particule à un angle donné. L'inclusion de la phase permet de prendre en compte la nature ondulatoire des particules.
On remarque que \( P_lcos(\theta) \) s'annulent pour \( l \ne 0 \) si et seulement si \( cos\theta = \pm 1 \) c'est-à-dire aux valeurs extrêmes de l'angle de diffusion. Pour le sens physique, cela signifie que les termes \( l \ne 0 \) ne contribuent pas à la diffusion isotrope. \( l = 0 \) est la condition nécessaire à l'isotropie de la diffusion.
Cas de \( l=0 \):
Analogie : Imaginez le neutron se déplaçant directement vers le noyau sans orbite apparente. Impact sur la diffusion : La diffusion pourrait être isotrope, avec une probabilité uniforme dans toutes les directions.

Cas de \( l=1 \):
Analogie : Le neutron peut avoir une certaine "rotation" ou "spin" pendant son mouvement vers le noyau. Impact sur la diffusion : La diffusion pourrait montrer une préférence de direction liée à la "rotation" du neutron.

Cas de \( l=2 \):
Analogie : Le neutron pourrait avoir des états quantiques disponibles qui ressemblent à une forme de "moment angulaire" dans certaines directions. Impact sur la diffusion : La distribution des directions de diffusion peut être influencée par ces états quantiques.

Solution

Les définitions du moment orbital sont les suivantes :

Mécanique quantique : \(L = \hbar \sqrt{l(l+1)} \) où \( \hbar \) est la constante de Planck réduite et \( l \) le nombre quantique. Le nombre quantique l est associé au moment orbital de la particule en mécanique quantique.
Mécanique classique : \(L = r * p = mRv \) où r est le vecteur position et p le vecteur quantité de mouvement.

Considérons que les deux soient égaux :
\(L = \hbar \sqrt{l(l+1)} = Rmv\) soit encore \(L = \hbar \sqrt{l(l+1)} = r_0 A^{1 \over 3} mv = r_0 A^{1 \over 3} \sqrt{2m E_c} \) si l'on considère l'approximation du rayon. Cette équation est vraie pour toute substance à densité constante et une bonne approximation pour ce problème balistique. \( r_0 \) est le rayon moyen des atomes (1,2 femtomètre) et A le nombre de nucléons.
Analyse mathématique : \( l \) forme une fonction polynomiale avec \( E_c \) : \( l^2 + l - \) \(r_0^2 A^{2 \over 3} m \over \hbar \) \( E_c = 0 \). \( l \) évolue avec la racine carré de \( E_c \).
Interprétation physique : le nombre quantique peut prendre plus de valeurs quand l'énergie cinétique augmente et plus la taille du noyau est grosse. Ainsi, par la quantification de ce nombre, on peut déterminer une inégalité qui assurerait l'isotropie (\( l=0 \)). On établit l'équation avec \( l=1 \) puis l'on forme l'inégalité : \[ E_c A^{2 \over 3} < { \hbar^2 \over{ m r_0^2} }\]

Application Numérique

Pour A=1, \( E_c < 34,4 MeV\) (neutron)
Pour A=12, \( E_c < 6 MeV\) (Carbon)
Pour A=238, \( E_c < 0,8 MeV\) (Uranium)
Sachant que les neutrons rapides (désintégration par fission) sont émis en moyenne autour de 1 MeV, on peut considérer que les neutrons ont une diffusion isotrope sur les noyaux d'Uranium.

Intitulé 2

Même si la diffusion élastique est isotrope dans le centre de masse, elle l'est plus ou moins dans le laboratoire à cause du recul du noyau cible. A partir de la conservation de l'énergie et de l'impulsion, démontrer qu'il est possible de relier l'angle de diffusion du neutron dans le laboratoire \( \psi \) à l'angle de diffusion dans le centre de masse \( \theta \).

Compréhension de l'intitulé 2

Il s'agit là d'un problème balistique de mécanique classique : Le choc élastique entre un neutron et un noyau cible (neutron, Uranium, Plutonium etc...).

La conservation de l'énergie et de l'impulsion est conservée par changement de référentiel. Cependant, il faut commencer par définir le problème et les équations dans l'un des deux référentiels. Le plus intuitif serait de commencer par le référentiel du laboratoire :

Solution

Le plus simple serait de commencer par le repère du laboratoire.
Conservation de l'énergie : \( p_1^2 \over 2m_n \) + \( p_2^2 \over 2m_A \) = \( p_1'^ 2 \over 2m_n \) + \( p_2'^ 2 \over 2m_A \)
Conservation de l'impulsion : \( \vec{p_1} + \vec{p_2} = \vec{p_1'} + \vec{p_2'}\)
De la conservation de l'impulsion, on obtient 2 équations en projetant sur les axes x et y, ce qui donne 3 équations avec celle de l'énergie:

\( \begin{cases} m_n v_1 = -m_A v_2 + m_n v_1' cos(\theta_1) + m_A v_2' cos(\theta_2) \\ 0 = m_n v_1' sin(\theta_1) + m_A v_2' sin(\theta_2) \\ \frac{1}{2} m_n v_1^2 + \frac{1}{2} m_A v_2^2 = \frac{1}{2} m_n v_1'^2 + \frac{1}{2} m_A v_2'^2 \end{cases} \) 3 équations pour 6 inconnus, \( v_1,v_2,v_1',v_2',\theta_1,\theta_2 \).

Quand le plus simple ne marche pas, on passe au plus compliqué : le repère du centre de masse. Le centre de masse (CDM) est le barycentre des deux objets, ici le neutron et le noyau cible. Ainsi la position du CDM est : \( \vec{OG} = \frac{\int_{}^{} \vec{OM} \,dm}{\int_{}^{} \,dm} \). Sa vitesse est donc \( \vec{v_{CDM}} = \frac{d\vec{OG}}{dt} = \frac{\int_{}^{} \frac{d\vec{OM}}{dt} \,dm}{\int_{}^{} \,dm} = \frac{\int_{}^{} \vec{v_{OM}} \,dm}{\int_{}^{} \,dm} \approx \frac{\sum_{i}^{} m_i \vec{v_i}}{\sum_{i}^{} m_i} = \frac{m_n \vec{v_1} + m_A \vec{v_2}}{m_n + m_A} \)
Ainsi, l'impulsion du CDM est : \( \vec{p_{CDM}}= (m_n + m_A) \vec{v_{CDM}} \), de même, après collision, \( \vec{p'_{CDM}}= (m_n + m_A) \vec{v'_{CDM}} \). D'après la conservation de l'impulsion, on conclut que \( \vec{v_{CDM}} = \vec{v'_{CDM}} \) ce qui signifie que le référentiel du centre de masse \(R^*\) est en MRU (mouvement rectiligne uniforme) avec le référentiel du laboratoire \(R\) : Le CDM est un référentiel galiléen. La loi de composition des vitesses s'applique. \( \begin{cases} \vec{v_1} = \vec{v_1}^* + \vec{v_{CDM}} \\ \vec{v_2} = \vec{v_2}^* + \vec{v_{CDM}} \\ \end{cases} \) idem pour \( \vec{v'_1} \) et \( \vec{v'_2} \).
Supposons maintenant que \( \vec{v_2} = 0 \), le noyau cible est fixe, solide. alors \( \begin{cases} \vec{v_1} = \vec{v_1}^* + \vec{v_{CDM}} \\ \vec{v_2}^* = - \vec{v_{CDM}} \\ \end{cases} \)
La conservation de l'impulsion dans \(R^*\) sera alors :
\( m_n\vec{v_1}^* + m_A \vec{v_2}^* = m_n\vec{v_1^*}' + m_A\vec{v_2^*}' \)
\(<=> m_n(\vec{v_1} - \vec{v_{CDM}}) - m_A \vec{v_{CDM}} = m_n ( \vec{v_1}' - \vec{v_{CDM}} ) + m_A ( \vec{v_2}' - \vec{v_{CDM}}) \)
\(<=> m_n\vec{v_1} - (m_n + m_A) \vec{v_{CDM}} = m_n \vec{v_1}' + m_A \vec{v_2}' - (m_n + m_A) \vec{v_{CDM}} \)
\( <=> m_n\vec{v_1} = m_n\vec{v_1}' + m_A \vec{v_2}' \)
\( <=> \frac{m_n}{m_n + m_A} \vec{v_1} = \vec{v_{CDM}} = - \vec{v_2}^*\)
\( <=> \frac{m_n}{m_n + m_A} \vec{v_1}^* + \frac{m_n}{m_n + m_A} \vec{v_{CDM}} = - \vec{v_2}^* \)
\( <=> \frac{m_n}{m_n + m_A} \vec{v_1}^* + \frac{m_n}{m_n + m_A} \vec{v_2}^* = - \vec{v_2}^* \)
\( <=> \frac{m_n}{m_n + m_A} \vec{v_1}^* + \vec{v_2}^* (1 - \frac{m_n}{m_n + m_A} ) = \vec{0} \)
\( <=> m_n \vec{v_1}^* = - m_A \vec{v_2}^* \)
\( => m_n \vec{v_1^*}' = - m_A \vec{v_2^*}' \) (1)
De même, avec la conservation de l'énergie cinétique : \( m_n\vec{v_1^*}^{2} + m_A \vec{v_2^*}^{2} = m_n\vec{v_1'^*}^{2} + m_A\vec{v_2'^*}^{2} \) (2)
De (1), on injecte dans (2), ce qui résulte : \[ m_n \vec{v_1^*}^{2} + m_A ( - \frac{m_n}{m_A} \vec{v_1^*})^2 = m_n\vec{v_1'^*}^{2} + m_A ( - \frac{m_n}{m_A} \vec{v_1'^*})^2 \] \[ => v^*_1 = v'^*_1 , v^*_2 = v'^*_2 \] On ne change pas la vitesse après la collision, on a simplement une rotation.
On note \( v_r \) la vitesse relative du neutron par rapport au noyau cible. => \( \vec{v_r} = \vec{v_1} - \vec{v_2} \) dans \(R\) et \( \vec{v^*_r} = \vec{v^*_1} - \vec{v^*_2} \) dans \(R^*\)
Ainsi, \( \vec{v^*_r} = \vec{v^*_1} - \vec{v^*_2} = - (1 - \frac{m_n}{m_A}) \vec{v^*_1} = (1 + \frac{m_n}{m_A}) \vec{v^*_2} \). En notant \( \mu = \frac{m_n m_A}{m_n + m_A}\) la masse réduite, on peut simplifier les notations.
Pour ainsi dire, \( \vec{v^*_r} = -\frac{m_n}{\mu} \vec{v^*_1} = \frac{m_A}{\mu} \vec{v^*_2} = \vec{v_r} \). Et après collision, \( \vec{v'^*_r} = -\frac{m_n}{\mu} \vec{v'^*_1} = \frac{m_A}{\mu} \vec{v'^*_2} \).
Conclusion : \( || \vec{p^*_1} || = || \vec{p^*_2} || = || \vec{p'^*_1} || = || \vec{p'^*_2} || = \mu v_r \), il faut donc déterminer les angles de rotation. Une représentation de cette collision est sous forme d'un cercle.

En écrivant les impulsions en fonction de \( \mu v_r \), la représentation peut être élargie, et les angles peuvent être déterminés par trigonométrie :
\( \theta \) angle de diffusion dans le repère du centre de masse.
\( \psi \) angle de diffusion dans le repère du laboratoire, ou angle du neutron diffu.
\( \theta_1 \) angle d'éjection, du recul de la cible.
Les relations entre les angles sont donc les suivantes : \[ tan( \psi ) = \frac{sin(\theta)}{\frac{m_n}{m_A} + cos(\theta)} (1) \] \[ \theta_1 = \frac{\pi - \theta}{2} (2)\] De (1), on peut réarranger l'expression en \( cos(\psi) \), de plus, \( m_A \) peut s'écrire par simplification \( A*m_n \) en considérant que la masse des neutrons est à peu près égale à celle des protons. \[ tan( \psi ) = \frac{sin(\psi)}{cos(\psi)} = \frac{Asin(\theta)}{1 + Acos(\theta)} <=> \frac{1}{cos^2(\psi)} - 1 = \frac{A^2 sin^2(\theta)}{(1+Acos(\theta))^2} <=> cos(\psi) = \frac{1+Acos(\theta)}{\sqrt{1 + 2Acos(\theta)+A^2}} \]